INTRODUCCIÓN
El sistema de numeración binario y los códigos digitales son fundamentales en las computadoras y, en general, en la electrónica digital. Este capítulo está enfocado principalmente al sistema de numeración binario. Se cubren las operaciones aritméticas con números binarios con el fin de proporcionar una base para entender cómo trabajan las computadoras y muchos otros tipos de sistemas digitales.
NÚMEROS DECIMALES
Todos estamos familiarizados con el sistema de numeración decimal porque utilizamos los números decimales todos los días. Aunque los números decimales son triviales, a menudo, su estructura de pesos no se comprende. En esta sección, vamos a repasar la estructura de los números decimales. Este repaso le ayudará a entender más fácilmente la estructura del sistema de numeración binario, que es tan importante en las computadoras y en la electrónica digital.
En el sistema de numeración decimal cada uno de los diez dígitos, de 0 a 9, representa una determinada cantidad. Como ya sabe, los diez símbolos (dígitos) no se limitan a expresar solamente diez cantidades diferentes, ya que usamos varios dígitos en las posiciones adecuadas dentro de un número para indicar la magnitud de la cantidad. Es posible especificar cantidades hasta nueve antes de quedarse sin dígitos; si se desea especificar una cantidad mayor que nueve, se emplean dos o más dígitos y la posición de cada dígito dentro del número indica la magnitud que representa. Por ejemplo, si deseamos expresar la cantidad veintitrés, usaremos (en sus respectivas posiciones dentro del número) el dígito 2 para representar la cantidad de veinte y el dígito 3 para representar la cantidad de 3, como se ilustra a continuación:
NÚMEROS BINARIOS
El sistema de numeración binario es simplemente otra forma de representar magnitudes. Es menos complicado que el sistema decimal porque sólo emplea dos dígitos. El sistema decimal con sus diez dígitos es un sistema en base diez; el sistema binario con sus dos dígitos es un sistema en base dos. Los dos dígitos binarios (bits) son 1 y 0. La posición de un 1 o un 0 en un número binario indica su peso, o valor dentro del número; del mismo modo que la posición de un dígito decimal determina el valor de ese dígito. Los pesos de un número binario se basan en las potencias de dos.
Para aprender a contar en el sistema binario, en primer lugar es preciso observar cómo se cuenta en el sistema decimal. Comenzamos en cero y continuamos hasta el nueve antes de quedarnos sin dígitos. Luego, comenzamos con otra posición de dígito (a la izquierda) y continuamos contando desde 10 hasta 99. En este punto, se terminan todas las combinaciones con dos dígitos, por lo que es necesaria una tercera posición de dígito para poder contar desde 100 hasta 999. Cuando contamos en binario se produce una situación similar, excepto en que sólo disponemos de dos dígitos, denominados bits. Empezamos a contar: 0, 1. En este punto, ya hemos utilizado los dos dígitos, por lo que incluimos otra posición de dígito y continuamos: 10, 11. Ahora, hemos agotado todas las combinaciones de dos dígitos, por lo que es necesaria una tercera posición. Con tres posiciones de dígito podemos continuar contando: 100, 101, 110 y 111. Ahora necesitamos una cuarta posición de dígito para continuar, y así sucesivamente. En la Tabla 2.1 se muestra cómo se cuenta desde cero hasta quince. Observe en cada columna la alternancia de 1s y 0s.
CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO
Vamos a estudiar dos formas de convertir un número decimal en un número binario.
Método de la suma de pesos:
Una forma de hallar el número binario equivalente a un número decimal determinado, consiste en determinar el conjunto de pesos binarios cuya suma es igual al número decimal. Una forma fácil de recordar los pesos binarios es que el peso más bajo es 1, es decir 20, y que duplicando cualquier peso, se obtiene el siguiente peso superior; por tanto, la lista de los siete primeros pesos binarios será: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Por ejemplo, el número decimal 9 puede expresarse como la suma de pesos binarios siguiente:
9 = 8 +1 o 9 = 2^3+2^0
Colocando los 1s en las posiciones de pesos apropiadas, 2^3 y 2^0, y los 0s en las posiciones 2^2 y 2^1 se determina el número binario correspondiente al decimal 9.
2^3 2^2 2^1 2^0 1 0 0 1 Número binario para el decimal 9
Método de la división sucesiva por 2:
Un método sistemático para convertir a binario números enteros decimales es el proceso de la división sucesiva por dos. Por ejemplo, para convertir el número decimal 12 a binario, comenzamos dividiendo 12 entre 2. A continuación, cada cociente resultante se divide entre dos hasta obtener un cociente cuya parte entera sea igual a 0. Los restos generados en cada división forman el número binario. El primer resto es el bit menos significativo (LSB) del número binario y el último resto es el bit más significativo (MSB). Este procedimiento se muestra en los pasos siguientes para la conversión a binario del número decimal 12.
Conversión de fracciones decimales a binario:
En los Ejemplos anteriores, se han mostrado conversiones de números enteros. Ahora vamos a ver las conversiones de números fraccionarios. Una forma fácil de recordar los pesos binarios fraccionarios es que el peso más significativo es 0,5, es decir 2−1, y que dividiendo entre dos cualquier peso se obtiene el siguiente peso menor; luego una lista de los cuatro primeros pesos binarios fraccionarios sería: 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625.
Suma de pesos. El método de la suma de pesos se puede aplicar a los números decimales fraccionarios, como se muestra en el siguiente ejemplo:
0,625 = 0,5 + 0,125 = 2−1 + 2−3 = 0,101
Lo que indica que hay un 1 en la posición 2−1, un 0 en la posición 2−2 y un 1 en la posición 2−3.
Multiplicación sucesiva por 2. Como hemos visto, los números decimales enteros pueden convertirse a binario dividiendo sucesivamente entre dos. Los números decimales fraccionarios pueden convertirse en números binarios multiplicando sucesivamente por 2. Por ejemplo, para convertir a binario el número decimal fraccionario 0,3125, comenzamos multiplicando 0,3125 por 2 y después se multiplica cada parte fraccional resultante del producto por 2 hasta que el producto fraccionario sea cero o hasta que se alcance el número deseado de posiciones decimales. Los dígitos acarreados o, acarreos, generados por las multiplicaciones dan lugar al número binario. El primer acarreo que se obtiene es el MSB y el último acarreo es el LSB. Este procedimientose se ilustra como sigue:
ARITMÉTICA BINARIA
La aritmética binaria es esencial en todas las computadoras digitales y en muchos otros tipos de sistemas digitales. Para entender los sistemas digitales, es necesario conocer los fundamentos de la suma, la resta, la multiplicación y la división binarias.
Suma binaria
Las cuatro reglas básicas para sumar dígitos binarios son:
Resta binaria
Las cuatro reglas básicas para la resta de números binarios son:
Multiplicación binaria
Las cuatro reglas básicas de la multiplicación de bits son las siguientes:
La multiplicación con números binarios se realiza de la misma forma que con números decimales. Se realizan los productos parciales, desplazando cada producto parcial sucesivo, una posición hacia la izquierda, y sumando luego todos los productos parciales.
División binaria
La división binaria sigue el mismo procedimiento que la división decimal
Existen otras formas de representar los números binarios de una manera mas fácil, las cuales son los números hexadecimales y los números octales
