INTRODUCCIÓN En 1854, George Boole publicó una obra titulada Investigación de las leyes del pensamiento, sobre las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad. En esta publicación se formuló la idea de un “álgebra lógica”, que se conoce hoy en día como álgebra de Boole. El álgebra de Boole es una forma adecuada y sistemática de expresar y analizar las operaciones de los circuitos lógicos. Claude Shannon fue el primero en aplicar la obra de Boole al análisis y diseño de circuitos. En 1938, Shannon escribió su tesis doctoral en el MIT (Massachussets Institute of Technology) titulada Análisis simbólico de los circuitos de conmutación y relés.
OPERACIONES Y EXPRESIONES BOOLEANAS
El álgebra de Boole son las matemáticas de los sistemas digitales. Es indispensable tener unos conocimientos básicos del álgebra booleana para estudiar y analizar los circuitos lógicos.
Suma Booleana
La suma booleana es equivalente a la operación OR y a continuación se muestran sus reglas básicas junto con su relación con la compuerta OR:
En el álgebra de Boole, un término suma es una suma de literales. En los circuitos lógicos, un término suma se obtiene mediante una operación OR: es igual a 1 cuando uno o más de los literales del término es 1. Un término suma es igual a 0 sólo si cada uno de los literales son iguales a 0.
Multiplicación Booleana
La multiplicación booleana es equivalente a la operación AND y sus reglas básicas junto con sus relaciones con la compuerta AND se ilustran a continuación:
En el álgebra de Boole, un término producto es un producto de literales. En los circuitos lógicos, un término producto se obtiene mediante una operación AND: es igual a 1 sólo si cada uno de los literales del término es 1. Un término producto es igual a 0 cuando uno o más de los literales son iguales a 0.
LEYES Y REGLAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
Al igual que en otras áreas de las matemáticas, existen en el álgebra de Boole una serie de reglas y leyes bien determinadas que tienen que seguirse para aplicarla correctamente. Las más importantes son las que se presentan en esta sección.
Ley conmutativa:
Esta ley establece que el orden en que se aplica a las variables, en las operaciónes de suma (OR) y producto (AND), es indiferente.
Ley asociativa:
Esta ley establece que cuando se aplican las operaciónes de suma (OR) y producto (AND) a más de dos variables, el resultado es el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables.
Ley distributiva:
Esta ley establece que aplicar la operación OR a dos o más variables y luego aplicar la operación AND al resultado de esa operación y a otra variable aislada, es equivalente a aplicar la operación AND a la variable aislada con cada uno de los sumandos y luego realizar la operación OR con los productos resultantes
TEOREMAS DE DeMORGAN
El complemento de un producto de variables, es igual a la suma de los complementos de las variables. O dicho de otra manera, el complemento de dos o más variables a las que se aplica la operación AND es equivalente a aplicar la operación OR a los complementos de cada variable. La fórmula para expresar este teorema para dos variables es:
El segundo teorema de DeMorgan se enuncia como sigue: El complemento de una suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables. O dicho de otra manera, El complemento de dos o más variables a las que se aplica la operación OR es equivalente a aplicar la operación AND a los complementos de cada variable. La fórmula para expresar este teorema es:
SIMPLIFICACIÓN MEDIANTE EL ÁLGEBRA DE BOOLE
Muchas veces, a la hora de aplicar el álgebra booleana, hay que reducir una expresión a su forma más simple o cambiarla a una forma más conveniente para conseguir una implementación más eficiente. El método que se va a tratar en esta sección utiliza las reglas, leyes y teoremas del álgebra de Boole para manipular y simplificar una expresión. Este método requiere un profundo conocimiento del álgebra booleana y una considerable experiencia en su aplicación, por no mencionar también un poquito de ingenio y destreza.
MAPAS DE KARNAUGH
Un mapa de Karnaugh proporciona un método sistemático de simplificación de expresiones booleanas y, si se aplica adecuadamente, genera las expresiones suma de productos y producto de sumas más simples posibles, conocidas como expresiones mínimas. Como hemos visto, la efectividad de la simplificación algebraica depende de nuestra familiaridad con las leyes, reglas y teoremas del álgebra de Boole y de nuestra habilidad para aplicarlas. Por otro lado, el mapa de Karnaugh es básicamente una “receta” para la simplificación.
Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los valores posibles de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor. En lugar de organizar en filas y columnas como una tabla de verdad, el mapa de Karnaugh es una matriz de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variables de entrada. Las celdas se organizan de manera que la simplificación de una determinada expresión consiste en agrupar adecuadamente las celdas. Los mapas de Karnaugh se pueden utilizar para expresiones de dos, tres, cuatro y cinco variables, pero nos ocuparemos únicamente de los casos de tres y cuatro variables para ilustrar los principios. El número de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al número total de posibles combinaciones de las variables de entrada, al igual que el número de filas de una tabla de verdad. Para tres variables, el número de celdas necesarias es de 23 = 8. Para cuatro variables, el número de celdas es de 24 = 16.
Mapa de Karnaugh de tres variables El mapa de Karnaugh de tres variables es una matriz de ocho celdas, como se muestra a continuación en la Figura (a). En este caso, A, B y C se emplean para denominar a las variables, aunque podían haberse usado cualesquiera otras letras. Los valores binarios de A y B se encuentran en el lado izquierdo (observe la secuencia) y los valores de C se colocan en la parte superior. El valor de una determinada celda es el valor binario de A y B, en la parte izquierda de la misma fila combinado con el valor de C en la parte superior de la misma columna. Por ejemplo, la celda de la esquina superior izquierda tiene un valor binario de 000 y la celda inferior derecha tiene un valor binario de 101. La Figura (b) muestra los términos producto estándar representados por cada celda del mapa de Karnaugh.
Mapa de Karnaugh de cuatro variables El mapa de Karnaugh de cuatro variables es una matriz de dieciséis celdas, como se muestra a continuación en la Figura (a). Los valores binarios de A y B se encuentran en el lado izquierdo y los valores de C y D se colocan en la parte superior. El valor de una determinada celda es el valor binario de A y B, en la parte izquierda dela misma fila combinado con los valores binarios de C y D en la parte superior de la misma columna. Porejemplo, la celda de la esquina superior derecha tiene un valor binario de 0010 y la celda inferior derecha tieneun valor binario de 1010. En la Figura (b) se indican los términos producto estándar representados por cada celda del mapa de Karnaugh de cuatro variables.
